BINDER magnetic人字齿同步带在啮合传动时与带轮齿的接触状态非常复杂，受到带齿面弹性变形，几何非线性和材料非线性等多种因素的影响，使得计算带齿与轮齿的接触应力变得相当困难[36]。传统做法是用以两平行圆柱对压的赫兹理论计算接触强度，赫兹理论做了许多的假设，仅假设相接触的两物体只产生弹性变形，应力应变关系符合胡克定律这一条假设，就与同步带复杂的材料特性非常不符合。因此传统赫兹理论不足以***描述问题，计算带齿接触强度时的精度和可靠度都很低。
BINDER magnetic人字齿同步带有限元法是分析接触问题的***有效的方法之一，特别是对于复杂的接触问题，若用解析法求得***结果十分困难，甚至不可能实现，只能采用数值近似的模拟方法。有限元法具有快速、***和可靠性高等优势，此使用弹性接触有限元法分析弹性带齿的受力是接近真实情况并得到较***解的***有效途径之一。同步带传动过程中带齿与带轮齿槽的啮合接触，可以看作是两个弹性物体相互接触。由前面对带齿的受力分析可以看出，带齿受到紧边拉力、松边拉力、载荷、齿顶的摩擦力等几种力的综合作用。带在拉力作用下由紧边开始进入啮合接触，带齿与轮齿相互接触后，接触面积的大小和接触处的应力都会随着两物体间合力的变化而变化，这些变化不仅与接触面上合力的大小有关，而且与带齿和带轮齿各自材料的性质有关。
2.3.1 BINDER magnetic人字齿同步带弹性接触有限元理论
使用弹性有限元的基本理论，可以有效解决复杂的人字齿同步带的接触问题。图 2-9
表示 A 和 B 两个弹性物体相互接触，分别对物体 A、B 划分网格，形成了由节点组
成能够计算的有限元网格，两物体初始接触面上的节点组成了多对接触点对。采用三维八节点接触面单元如图 2-10 所示，假设接触点对之间由无数微小的弹簧建立连接关系，接触面之间靠节点处的作用力联系起来，单元形心放置在原点处，z 向
表示接触压力，x、y 表示摩擦切向力。
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B |
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Y |
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B |
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uy |
ux |
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ux |
A |
uy |
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A |
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B |
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O |
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A |
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X |
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Z |
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P |
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A |
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z |
y |
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r |
q |
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n |
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p |
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O |
k |
x |
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l |
m |
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i |
b |
j |
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图 2-9 两物体的弹性接触状态 图 2-10 三维八节点接触单元
物体 A 和 B 的接触状态有三种，分别是：分离、粘结接触和滑动接触[37]。对于这三种情况，接触点对的位移和力的条件各不相同，实际的接触状态在这三种接触情况中转化，导致了接触问题高度非线性特点。 PA 和 PB 表示两物体受到的外载荷， uA 和 uB 表示两物体的位移，可以得到以下方程：
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ï&igr***e;{K A }{u A }= {P A }-{R A} |
(2-38) |
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í |
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ï{K B }{u B }= {P B }-{RB } |
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î |
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式中 |
{K A }，{K B }——弹性体 A、B 的刚度矩阵； |
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u A |
， u B |
——弹性体 A、B 的节点位移向量； |
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{ } |
{ } |
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{P A }，{P B }——A、B 的整体载荷向量；
{R A }，{R B }——A、B 的接触力向量。
两物体处于不同接触状态下时的边界条件不一样，设 unA 、 unB 分别为接触点对的法向位移，utA 、utB 为切向位移，RnA 、RnB 分别为接触点对的法向接触力，RtA 、RtB
为切向接触力，可得到不同接触状态的边界条件如下[38] ：
分离接触点对：
RnA = RnB = RtA = RtB = 0
粘结接触点对：
RnA + RnB = 0 ， RtA + RtB = 0 ， unA = unB ， utA = utB
滑动接触点对：
RnA + RnB = 0 ， RtA = -mRtB ， unA = unB ， utA = utB
2.3.2 弹性接触的算法
若将接触界面条件用拉格朗日乘子法、罚函数法和增广的拉格朗日乘子法等表示，并将此条件引入到物体势能泛函中，可构造如下泛函[39] ：
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P = U - W + G |
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(2-39) |
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式中 |
U ——应变能； |
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W ——外力功； |
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||
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G ——各方法的相应约束项。 |
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||
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上述泛函的极值条件可作为弹性接触问题的解，于是有： |
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dP - d U + d W - d G = 0 |
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(2-40) |
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若使用拉格朗日乘子法，可取： |
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||
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G = GL = &ogr***e;LT gdS |
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(2-41) |
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S |
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d G = d GL = &ogr***e; dL T gdS + &ogr***e;LT d gdS |
(2-42) |
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S |
S |
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式中 |
L = é l , l |
l&ugr***e;T 表示 Lagrange 乘子， g = é g , g |
g |
&ugr***e;T |
表示间隙矢量。 |
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ë |
12 , |
û |
ë |
12, |
3 |
û |
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3 |
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|||
若使用罚函数法，可取：
G = GP = 12 &ogr***e;S ag T gdS
d G = d GP = &ogr***e;ag T d gdS
若使用增广拉格朗日乘子法，则为上述两种方法的合成，表示为：
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G = G AL = |
æ |
L |
T |
+ |
1 |
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T ö |
|
ç |
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ag |
÷ gdS |
|||
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2 |
||||||
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z&ogr***e; |
&egr***e; |
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|
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ø |
d G = d G AL = &ogr***e; dL T gdS + &ogr***e;(L T +a g T )d gdS
SYNCHROFLEX同步带接触有限元法求解的过程是[40]：对于所建立的有限元模型中的接触点对，首先假定一个初始接触状态，将此时的边界条件代入方程（2-38）中，求出节点位移和
接触力。然后检查假设的接触状态与计算得出的接触状态是否相符合，如不符合，则以新的假定接触状态为起点，再次代入新状态的边界条件，重新进行迭代求解，直到计算前后接触状态完全相符合为止。